凝集 topos
cohesive topos
初等 topos$ \cal E,S と幾何學的射$ f^*\dashv f_*:{\cal E}\xrightleftarrows[f^*]{f_*}{\cal S} について、$ \cal Eが stably locally connected topos かつ local topos であれば$ \cal Eを凝集 topos と言ふ。$ \cal Sは$ \cal Eの base topos と言ふ 隨伴 (函手)列$ f_!\dashv f^*\dashv f_*\dashv f^!が在る $ f_!:{\cal E}\to{\cal S}但し有限積を保存する
$ f^*:{\cal E}\hookleftarrow{\cal S}逆像部分
$ f_*:{\cal E}\to{\cal S}直像部分
$ f^!:{\cal E}\hookleftarrow{\cal S}
$ (f^*\circ f_!)\dashv(f^*\circ f_*)\dashv(f^!\circ f_*):{\cal E}\to{\cal E}
$ (f_!\circ f^*)\dashv(f_*\circ f^*)\dashv(f_*\circ f^!):{\cal S}\to{\cal S}
$ (f^*\circ f_*\circ f^*\circ f_!)\dashv(f^*\circ f_*\circ f^!\circ f_*):{\cal E}\to{\cal E}
例
$ \Pi_0\dashv{\rm Disc}\dashv\Gamma\dashv{\rm coDisc}:{\cal E}\xrightarrow{\Gamma}{\cal S}
$ \Pi_nは n 次の homotopy 型 (shape) を取り出す
$ {\rm Disc}:{\cal S}\to{\cal E}は離散對象への函手 $ {\rm coDisc}:{\cal S}\to{\cal E}は餘離散對象への函手 $ S\dashv\flat\dashv\sharp:{\cal E}\xrightarrow{\Gamma}{\cal S}\xrightarrow{\rm Disc}{\cal E}
$ S:{\cal E}\to{\cal E}={\rm Disc}\circ\Pi_0
($ \KaTeXで ∫ を小さく書けないんだよな$ ∫$ \int)
$ \flat:{\cal E}\to{\cal E}={\rm Disc}\circ\Gamma
$ \sharp:{\cal E}\to{\cal E}={\rm coDisc}\circ\Gamma
對象は凝集空閒 (cohesive space) と見做せる
譯語
Francis William Lawvere "Cohesive Toposes -- Combinatorial and Infinitesimal Cases" 2008
凝集 (∞,1)-topos (cohensive (∞,1)-topos)